Jörg Bewersdorff's Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur PDF

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3322915786

ISBN-13: 9783322915788

ISBN-10: 3528031921

ISBN-13: 9783528031923

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quick dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Trotz mehrfacher Versuche von verschiedenen Mathematikern gelang ein lückenloser Beweis dieses so genannten Fundmentalsatzes der Algebra aber erst 1799 earl Friedrich Gauß. Mit diesem Nachweis bestätigt sich - zumindest aus algebraischer Sicht - zugleich die Zweckmäßigkeit der komplexen Zahlen, da die Notwendigkeit einer nochmaligen Erweiterung des Zahlbereichs nicht gegeben ist. Die Bezeichnung "Fundmentalsatzes der Algebra" ist übrigens historisch zu verstehen und aus heutiger Sicht eher missverständlich.

B,(x-x,)+b o mit Daher ergibt sich nun wie gewünscht: 23 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 4), Chapter I, Gleichung x3 + 72 = llx 2 . Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 31 +alx+a o =(X-XI*X-xl)n-1+b n_l (x-x l )n-2+ ... +b l ) = (x - XI )(x n-I + c n_2x n-2 + ... + co) Letztlich ist uns damit nichts anderes als eine Polynomdivision durch den Faktor (x - XI) gelungen, wobei alle Koeffizienten co, CI, ... , Cn-2 des entstehenden Polynoms aus denen der ursprünglichen Gleichung und der Lösung XI mittels Addition und Multiplikation berechnet werden können.

Xn ) ist damit wie gewünscht eine Gleichung gefunden! 3 anlässlich der Untersuchung der kubischen Resolvente bei Ferraris Verfahren zur Lösung der biquadratischen Gleichung erörtert. Lagranges universelle Konstruktion führt für dieses Beispiel zur Gleichung (Z-HX ,X2 + X3 X4 )+S)(z-Hx 1 X3 + X2 X4 )+S)(z-Hx 1 X4 + X2 X3 ) +s) = 0, wobei zur Abkürzung Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 47 gesetzt wurde. Multipliziert man die drei Linearfaktoren miteinander, erhält man - nun aber auf einem allgemein beschreitbaren Weg - wieder die schon aus Kapitel 3 bekannte kubischen Resolvente.

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Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by Richard
4.3

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